MAKALAH
BILANGAN
KOMPLEKS
UNIVERSITAS
GUNADARMA
SISTEM
KOMPUTER – 1KB04
KATA
PENGANTAR
Puji syukur
kami panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa, karena dengan pertolonganNya
kami dapat menyelesaiakan makalah yang berjudul ‘Bilangan Kompleks’. Meskipun
banyak rintangan dan hambatan yang kami alami dalam proses pengerjaannya, tapi
kami berhasil menyelesaikannya dengan baik.
Tak lupa kami
mengucapkan terimakasih kepada dosen pembimbing yang telah membantu kami dalam
mengerjakan makalah ini. Kami juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman
mahasiswa yang juga sudah memberi kontribusi baik langsung maupun tidak
langsung dalam pembuatan makalah ini.
Tentunya ada hal-hal
yang ingin kami berikan kepada masyarakat dari hasil makalah ini. Karena itu
kami berharap semoga makalah ini dapat menjadi sesuatu yang berguna bagi kita
bersama.
Semoga makalah
yang kami buat ini dapat membuat kita mencapai kehidupan yang lebih baik lagi.
Depok, 8 Juni 2015
Penyusun
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL
KATA PENGANTAR
DAFTAR ISI
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
1.2 Rumusan Masalah
1.3 Tujuan Penulisan
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Bilangan kompleks
2.2 Contoh Soal Bilangan Kompleks
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
3.2 Saran-saran
DAFTAR
PUSTAKA
LAMPIRAN
BAB I
PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Bilangan kompleks merupakan salah satu terobosan penting
dalam dunia Matematika. Bagi yang telah mengikuti perkuliahan Aljabar Linear,
himpunan bilangan bulat telah dikenal sebagai suatu himpunan yang sederhana
yang memiliki struktur grup, dan lebih jauh lagi gelanggang. Struktur grup dari
bilangan bulat membuat setiap persamaan linear monik memiliki solusi. Tetapi
persamaan linear umum:
ax + b = c
dengan
a; b; c di suatu himpunan F menuntut struktur yang lebih canggih bagi F, yaitu
lapangan.
Tetapi
lapangan ini tidak memiliki sifat berikut ini: setiap subset terbatas darinya
memiliki batas atas terkecil dan batas bawah terbesar. Sifat ini yang kemudian
berakibat setiap barisan Cauchy konvergen. Sifat ini disebut
"lengkap". Kebutuhan untuk mengkonstruksi sebuah lapangan yang
lengkap yang kemudian memberikan himpunan bilangan real. Tetapi, meskipun
himpunan bilangan real memiliki sifat kelengkapan, lapangan tersebut tidak
tertutup secara aljabar: setiap polinom berderajat n memiliki n buah pembuat
nol.
Salah satu contoh klasik mengenai fakta ini adalah
persamaan x2 +1 = 0 yang sama sekali tidak memiliki akar di bilangan
real. Jika akar dari persamaan ini disebut i, maka kita dapat membentuk
lapangan bilangan kompleks yang tertutup secara aljabar. Masalah yang serius
dalam hal ini adalah persamaan: x2 +1 = 0 memiliki dua akar. Akar
yang manakah yang akan kita pilih sebagai i? Ini sebabnya pendekatan yang lebih
formal dan rigid dibutuhkan untuk mendefinisikan himpunan bilangan kompleks.
1.2 Rumusan Masalah
·
Apa itu Bilangan kompleks?
·
Bagaimana cara melakukan operasi hitung pada Bilangan
kompleks?
1.3 Tujuan Penulisan
·
Mampu menjelaskan pengertian Bilangan kompleks.
·
Agar bisa melakukan operasi hitung pada Bilangan
kompleks.
BAB II
PEMBAHASAN
2.1 Pengertian Bilangan Kompleks
Bilangan kompleks adalah suatu bilangan berbentuk a + bi, di mana a dan b bilangan real,
sedangkan i adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut
bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Jika pada suatu bilangan
kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan
bilangan real a.
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan
dibagi seperti bilangan real; namun bilangan kompleks juga mempunyai
sifat-sifat tambahan yang menarik. Misalnya, setiap persamaan aljabar
polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks, tidak seperti bilangan real yang
hanya memiliki sebagian.
Jika z1 = a
+ bi atau z1 = ( a, b ) dan z2 = c + di atau z2 = ( c , d )
Maka :
·
Penjumlahan
z1 + z2 = ( a + bi ) + ( c + di )
= ( a + c ) + ( b + d )i
= ( a + c, b + d )
atau
z1 + z2 = ( a, c ) + ( b, d )
= ( a + c, b + d )
= ( a + c ) + ( b + d )i
·
Pengurangan
z1 - z2 = ( a + bi ) - ( c + di )
= ( a + bi ) - c - di
= ( a – c ) + ( bi – di )
= ( a – c ) + ( b – d )i
= [( a – c, b – d )]
·
Perkalian
z1 x z2 = ( a
+ bi ) x ( c + di )
= ac +
adi + cbi + bidi
= ac + ( ad + cb )i + bdi2
= ac + ( ad + cb )i + bd (-1)
= ( ac – bd ) + ( ad + cb )i
= [( ac – bd ), ( ad + cb )]
·
Pembagian
Sebuah bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang
kompleks dengan sumbu X sebagai sumbu
real dan sumbu Y sebagai sumbu khayal. Bilangan kompleks a + bi dinayatakan dengan titik (a, b).
Bilangan nol adalah bilangan kompleks 0
+ 0i, dapat dinyatakan dengan titik
(0, 0). Bilangan a adalah bilangan
kompleks a + 0i, dinyatakan dengan titik (a,
0). Bilangan khayal i adalah
bilangan kompleks 0 + 1i dinyatakan
dengan titik (0, 1).
2.1 Contoh Soal Bilangan Kompleks
·
Contoh Soal 1:
Ada 4 bilangan kompleks yang disimbolkan z1, z2, z3, dan
z4.
z1 = 3 + 6 z3
= -2-2
z2 = -3+2 z4
= 4 - 3
Gambarkan titik-titik z1, z2, z3, dan z4 di bidang
kompleks!
Jawab:
Kita buat koordinat x dan y, di mana z=x + y . 4 titik itu digambar sebagai berikut.
·
Contoh
Soal 2:
Suatu bilangan kompleks z
dinotasikan sebagai z = (x + y
).
).
Jika z =
tentukan x dan y. Lalu, gambarkan z dalam bidang kompleks!
Jawab:
Bentuk z diubah dulu atau
disederhanakan
Nah, di sini didapat bahwa x=5
dan y =
Ini adalah lokasi titik z di bidang
kompleks:
Titik yang berwarna merah adalah
titik yang dimaksud.
·
Contoh Soal 3 :
(3+4i)(2-5i) = ….
Jawab:
Lakukan perkalian biasa terlebih dahulu.
(3+4i) (2-5i) = 6 -15i + 8i -20i2
Lalu ubah i2
menjadi 1.(3+4i) (2-5i) = 6 -15i + 8i +20 = 26 -7i.
·
Contoh Soal 4 :
Nyatakan a = 0,371371371… (371 berulang) sebagai hasil bagi dua bilangan
bulat, yang berarti a merupakan
rasional.
Jawab:
1000 a =
371,371371371…
a =
0,371371371… _
999 a =
371,0
Berarti a = 371/999
BAB III
PENUTUP
3.1 Kesimpulan
·
Bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk:
a + bi
atau a + ib dapat ditulis (a,b). a dan b bilangan real dan i2 = –1.
·
Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan
dibagi seperti bilangan real.
·
Sebuah bilangan kompleks dapat digambarkan pada bidang
kompleks dengan sumbu X sebagai sumbu
real dan sumbu Y sebagai sumbu khayal.
3.2 Saran
Dalam
mempelajari bilangan kompleks ini dibutuhkan ketelitian dalam menghitung agar
tidak terjadi kesalahan. Dan berlatih dengan mengerjakan soal-soal yang
berhubungan dengan bilangan kompleks.
DAFTAR
PUSTAKA
Pengertian Bilangan Kompleks
·
Buku Matematika Dasar
Contoh Soal Bilangan Kompleks
·
Buku Matematika Dasar
LAMPIRAN
1. Bilangan
kompleks adalah suatu bilangan berbentuk a
+ bi, di mana a dan b bilangan real, sedangkan i = adalah satuan khayal (imajiner). a disebut bagian real dan b disebut
bagian khayal dari bilangan kompleks tersebut. Jika pada suatu bilangan
kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan
bilangan real a.
2. Bilangan
kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti bilangan real;
namun bilangan kompleks juga mempunyai sifat-sifat tambahan yang menarik.
Misalnya, setiap persamaan aljabar polinomial mempunyai solusi bilangan kompleks,
tidak seperti bilangan real yang hanya memiliki sebagian.
3. Sebuah bilangan
kompleks dapat digambarkan pada bidang kompleks dengan sumbu X sebagai
sumbu real dan sumbu Y sebagai sumbu
khayal. Bilangan kompleks a + bi
dinayatakan dengan titik (a, b). Bilangan nol adalah bilangan
kompleks 0 + 0i, dapat dinyatakan dengan titik (0, 0). Bilangan a adalah bilangan kompleks a + 0i,
dinyatakan dengan titik (a, 0).
Bilangan khayal i adalah bilangan
kompleks 0 + 1i dinyatakan dengan
titik (0, 1).
